aritmetica transfinita
aritmetica transfinita
aritmetica transfinita estensione delle usuali relazioni e operazioni aritmetiche, che riguardano numeri naturali finiti, ai numeri transfiniti. Tale estensione si deve a G. Cantor, che identificando il numero naturale come la classe cui appartengono insiemi tra loro equipotenti (i cui elementi possono cioè essere posti in corrispondenza biunivoca) e quindi con la loro → cardinalità e mostrando che esistono diverse «classi» di infinito, introdusse i numeri transfiniti come espressioni della cardinalità di insiemi infiniti. Nell’insieme dei numeri transfiniti è introdotto un ordinamento a partire da un confronto tra infinità: l’insieme infinito A ha cardinalità minore dell’insieme infinito B se è possibile porre in corrispondenza biunivoca A con un sottoinsieme proprio di B, ma non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra B e un sottoinsieme proprio di A. Questo confronto determina un ordinamento totale tra i numeri transfiniti. Esiste inoltre un numero transfinito minimo, che è quello che corrisponde alla cardinalità di N, detta cardinalità del numerabile, e indicato con ℵ0 («aleph zero», dove «aleph» è la prima lettera dell’alfabeto ebraico). All’insieme delle parti P(A) di un insieme A (poiché sia nel caso finito sia in quello infinito la sua cardinalità è maggiore di quella di A) compete un numero cardinale transfinito maggiore: in particolare, all’insieme delle parti di N compete il numero
Indicato poi con ℵc il numero cardinale transfinito di R (e degli insiemi che hanno la potenza del continuo), Cantor stabilì che ℵ0 < ℵc, ma si pose il problema se ℵc fosse o meno il successivo di ℵ0, se cioè esistessero numeri cardinali transfiniti intermedi tra quello del numerabile e quello del continuo e congetturò che non ve ne fossero (→ continuo, ipotesi del). I numeri cardinali transfiniti hanno proprietà aritmetiche particolari: per esempio, poiché l’unione di un numero finito o numerabile di insiemi numerabili è a sua volta numerabile, ℵ0 + ℵ0 + ℵ0 + … = ℵ0 e, in particolare, per ogni n ∈ N si ha n + ℵ0 = ℵ0.