aritmetica

aritmetica

In generale, teoria dei numeri; in particolare, teoria dei numeri naturali. I contributi più importanti per lo sviluppo dell’a. furono: l’ideazione nel mondo greco di una a. geometrica (Scuola di Pitagora, Teeteto, Eudosso, Euclide, Archimede, Eratostene); l’introduzione della numerazione scritta in base dieci (5° sec. d.C.); lo sviluppo della connessione tra a. e algebra (Diofanto, L. Fibonacci, L. Pacioli); i raffinamenti dell’a. nei secc. 17° e 18° che posero le basi della teoria dei numeri (P. Fermat, L. Eulero, G.L. Lagrange, A.M. Legendre, K.F. Gauss); i rapporti sempre più stretti, in epoca moderna e contemporanea, con l’algebra, la teoria delle funzioni analitiche, la teoria delle funzioni di variabile reale (E. Galois, P.G.L. Dirichlet, R.J. Dedekind, I.M. Vinogradov). Cruciali sviluppi dell’a. nel 19° sec. sono legati in primo luogo all’aritmetizzazione dell’analisi, che intendeva ricondurre le branche superiori della matematica all’a. elementare; e in secondo luogo alla logicizzazione dell’a. (assiomatizzazione formale dell’a.). G. Cantor, K. Weierstrass, H.E. Heine e Dedekind ricondussero vari tipi di numeri ai numeri razionali e questi ai naturali. Tale riduzione portò a interrogarsi sulla natura dei naturali e sullo statuto delle quantità infinite. Cantor in particolare formulò una teoria degli insiemi in cui sviluppò la cosiddetta a. transfinita, che rivoluzionò letteralmente la nozione matematica di infinito. Circa la logicizzazione dell’a. va notato che, diversamente dalla geometria, l’a. era rimasta intuitiva e non assiomatizzata sino a oltre la metà dell’Ottocento, quando Frege, Dedekind e G. Peano enuclearono le caratteristiche logiche che i numeri naturali devono avere perché le proprietà che l’a. assegna loro risultino deduttivamente giustificate. Peano fu il primo (avvalendosi di alcune idee di Dedekind) a dare una veste assiomatica abbastanza rigorosa all’aritmetica (assiomi di Peano).