chiuso
chiuso
chiuso in topologia, insieme di punti che contiene tutti i suoi punti di frontiera, vale a dire insieme formato dai suoi punti interni e dai punti che, in ogni loro intorno, contengono almeno un punto dell’insieme stesso e un punto che non gli appartiene. Per esempio, in R un intervallo chiuso è un intervallo [a, b] comprendente entrambi gli estremi, cioè composto da tutti i numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b; analogamente un segmento chiuso è un segmento considerato con i suoi estremi. In R2 un esempio di chiuso è un cerchio, circonferenza compresa. Un semipiano può essere considerato con la retta che ne costituisce la frontiera appartenente a esso, oppure privato di tale retta: nel primo caso si tratta di un semipiano chiuso, nel secondo di un semipiano aperto. Il complementare di un insieme chiuso è un → aperto. L’insieme vuoto e l’intero spazio si considerano contemporaneamente chiusi e aperti. Unione e intersezione di un numero finito di insiemi chiusi sono chiusi; per un numero infinito di chiusi solo l’intersezione è sempre un chiuso, mentre l’unione può non esserlo. Per esempio, l’unione degli infiniti cerchi concentrici chiusi di raggio 1 – 1/n è il cerchio aperto di raggio 1. L’insieme dei numeri razionali non è né chiuso né aperto (→ Borel, insiemi di).