classe laterale
classe laterale
classe laterale o laterale, in algebra, particolare sottoinsieme di un gruppo G definito a partire da un elemento g del gruppo e da un sottogruppo H di G. È indicato con gH o Hg e definito rispettivamente come gH = {gh : h ∈ H} (classe laterale sinistra, modulo H) e Hg = {hg : h ∈ H} (classe laterale destra, modulo H). L’elemento g di G è detto rappresentante della classe laterale. Il numero delle classi laterali sinistre di G modulo H e il numero delle classi laterali destre di G modulo H coincidono: questo numero è detto indice del sottogruppo H in G.
L’insieme delle classi laterali sinistre (rispettivamente destre) di G modulo H può equivalentemente essere visto come l’insieme delle classi di equivalenza di G rispetto alla relazione di equivalenza definita come segue:
(rispettivamente, g1 ~ g2 se ∃h ∈ H tale che g2 = hg1). Le partizioni indotte dalle due relazioni di equivalenza appena definite non coincidono l’una con l’altra: in altre parole, esistono in generale elementi g di G per cui gH ≠ Hg. Nel caso particolare in cui le due partizioni coincidano, cioè in cui, per ogni elemento g di G, vale gH = Hg, il sottogruppo H è detto sottogruppo normale.