connessione

connessione

connessione proprietà di uno spazio topologico per la quale non esistono due aperti disgiunti la cui unione dia lo spazio stesso. La connessione è una proprietà topologica, ossia resta invariata per omeomorfismi. Nello spazio dei numeri reali gli unici insiemi connessi sono gli intervalli.

Connessione per archi (o per cammini)

Proprietà di uno spazio topologico S per la quale, presi due punti qualsiasi nello spazio, A e B, esiste un cammino che li congiunge. Uno spazio connesso per archi è connesso, ma, in generale, non vale il viceversa. Si parla di connessione locale (rispettivamente, di connessione locale per archi) se ogni aperto contenente un punto qualunque dello spazio possiede un sottoinsieme aperto e connesso (rispettivamente, connesso per archi) contenente il punto stesso.

Connessione semplice

Proprietà di uno spazio topologico S per la quale ogni cammino chiuso dello spazio è omotopo a un cammino costante (ossia avente per immagine un punto): intuitivamente, ciò significa che ogni curva chiusa può essere deformata con continuità fino a diventare un punto. Questa proprietà può essere anche così espressa: la regione racchiusa da una qualsiasi coppia di cammini che congiungono A e B e non hanno altri punti in comune appartiene a S. Intuitivamente questo corrisponde, nel caso piano, a pensare lo spazio S come costituito “da un solo pezzo” e “privo di buchi”. Un spazio connesso, ma non semplicemente connesso, è detto molteplicemente connesso; per esempio una corona circolare è uno spazio, o dominio, connesso, ma non semplicemente connesso. Se con n − 1 tagli che non si intersecano e che congiungono un contorno a un altro è possibile trasformare un dominio molteplicemente connesso in uno semplicemente connesso, allora si dice che ha un ordine n di connessione.