determinante

determinante

determinante [agg. e s.m. Der. del part. pres. determinans -antis del lat. determinare "definire qualcosa fissandone i limiti" (affine a delimitare), comp. di de- e terminus "limite, confine" e quindi "che o chi determina qualcosa"] [ALG] Il valore da associare, con una ben determinata regola, a una matrice quadrata n╳n; è indicato con una delle seguenti notazioni: a₁ a₁ ..... a₁ a₂ a₂ ..... a₂| .................... | , |aik|, det||aik||,(a11,a22,...,ann). an1 an2 ..... annIl numero n è l'ordine del d.; la regola per il calcolo di un d. di ordine n è la seguente. Si considerino i prodotti a₁1✄a₂2✄.....✄anhn, essendo h₁, h₂, ..., hn i numeri 1, 2, ..., n in una delle loro possibili permutazioni (tali prodotti sono in numero di n!) e a ciascuno di essi si attribuisca il segno + o il segno - a seconda che la permutazione h₁, h₂, ..., hn sia, rispetto alla permutazione 1, 2, ..., n, di classe pari o dispari: valore del d. è la somma algebrica dei prodotti considerati. Si ha, in partic., per n=1: |a₁|=a₁; per n=2: a₁ a₁| a₂ a₂| = a11 a22 - a12 a21, ecc. ◆ [ALG] D. ag-giunto: del d. di una matrice data, di ordine n, è quello che s'ottiene sostituendo a ogni elemento I della matrice il suo complemento algebrico; ha il valore An-1, se A è il valore del d. dato. ◆ [ALG] D. di potenze, o di Vandermonde: d. del tipo 1 1 ... 1 x₁ x₂ ... xn | x₁2 x₂2 ... xn2 | . .......................... x₁n-1 x₂n-1 ... xnn-1Il suo valore è Πr,k(xk-xr), per k>r da 1 a n, cioè il prodotto delle differenze tra ciascun elemento x₁, x₂, ..., xn e ciascuno dei precedenti; è nullo se e solo se due (o più) delle x₁, x₂, ..., xn sono uguali. ◆ [ALG] D. inverso: di una matrice a d. non nullo, è il d. della matrice inversa, che s'ottiene sostituendo ciascun elemento ars con il suo complemento algebrico Ars, dividendo poi ciascun elemento per il valore |A| del d. dato e trasponendo la matrice così ottenuta; il d. inverso vale 1/|A|, come si ottiene facilmente notando che AA-1=I e dunque |A||A-1|=1. ◆ [ALG] D. pseudosimmetrico, o gobbo simmetrico: d. di una matrice per la quale ars=-asr, con r€s, cioè tale che elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale abbiano valori opposti, mentre nulla s'impone a quelli della diagonale principale. ◆ [ALG] D. simmetrico: d. di una matrice nella quale ars=asr, cioè tale che elementi in posizioni simmetriche rispetto alla diagonale principale abbiano valori uguali. ◆ [ALG] D. trasposto: di un d. dato |A| è il d. della matrice che s'ottiene scambiando le righe con le colonne; s'indica con |AT| e ha valore uguale ad|A|.