Margrabe, formula

Margrabe, formula

Formula del prezzo di una particolare opzione esotica di tipo europeo. L’opzione, detta anche di scambio, consente al suo detentore di scambiare alla scadenza un titolo rischioso (per es., consegnare il titolo numero 2) contro un altro (numero 1). Indicando con A_i(T) il prezzo di mercato alla scadenza T di un titolo, il saldo a tale data dell’opzione è max[0; A₁(T)−A₂(T)]= [(A₁(T)−A₂(T)]⁺. Nell’ipotesi che i titoli distribuiscano un flusso continuo di dividendi a intensità q_i e che i loro prezzi seguano un moto browniano (➔ browniano, moto) geometrico con volatilità costanti σ₁ e σ₂ e coefficiente di correlazione istantaneo fra i due pari a ρ, risulta, grazie ad argomentazioni analoghe a quelle alla base della formula di Black-Scholes (➔ Black-Scholes, formula di), e utilizzando come numerario il titolo numero 2, che il prezzo corrente dell’opzione di scambio è pari a: A₁exp(−q₁T)N(d₁)−A₂exp(−q₂T)N(d₂), dove A₁ e A₂ sono i prezzi correnti dei due titoli, N(d) è il valore in d della cumulata (➔) della distribuzione normale standardizzata e

d

₁=(In(A₁/A₂)+(q₂−q₁+(1/2)σ²)T)/σ(T^1/2);

d

₂=d₁− σ(T^1/2); σ=(σ²₁+σ²₂‒2ρσ¹σ²)^1/2.