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geometria metrica

Enciclopedia della Matematica (2013)
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geometria metrica


geometria metrica settore della geometria che studia uno spazio in cui è definita una distanza tra punti e il cui gruppo delle trasformazioni associato è il gruppo delle isometrie. Un insieme X assume la struttura di spazio metrico quando è definita una funzione distanza d: X × X → R, detta metrica, che a ogni coppia di elementi di X associa un numero reale tale che, per ogni x, y, z ∈ X, si abbia

a) d(x, y) ≥ 0

b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y

c) d(x, y) = d(y, x)

d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

In particolare, tale spazio è detto spazio euclideo se, fissato un sistema di riferimento cartesiano, per ogni coppia di punti P(x1, ..., xn) e Q(y1, ..., yn), la distanza d è data da

formula

che soddisfa le condizioni a), b), c), d). Ogni spazio euclideo è quindi un spazio metrico, ma non è vero il viceversa giacché possono essere date altre definizioni particolari di distanza, che soddisfano le quattro condizioni a), b), c), d), ma non la (1). Per esempio, come caso estremo, povero di applicazioni per la verità, si potrebbe definire come “distanza” tra due punti una funzione che restituisce 0 se i due punti coincidono, 1 se sono distinti (per altre definizioni, si veda → distanza). In uno spazio vettoriale la metrica può essere indotta dalla norma dei vettori. La definizione di una metrica non esaurisce tuttavia la necessità di attribuire un numero a ciascun oggetto geometrico, in modo da rappresentarne la “porzione di spazio occupato” (lunghezza di un arco di curva, area di una superficie, volume di un solido, ampiezza di un angolo). Occorre quindi definire un concetto più generale di misura (→ misura, teoria della).

Vedi anche
verità Conformità o coerenza a principi dati o a una realtà obiettiva. Filosofia Definizione e criterio di verità Nella storia della filosofia il concetto di v. è stato concepito in almeno due diverse prospettive, l’una ontologica, l’altra strettamente connessa al discorso umano. Nella prospettiva ontologica ... applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ...
Tag
  • SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO
  • SPAZIO VETTORIALE
  • FUNZIONE DISTANZA
  • SPAZIO EUCLIDEO
  • SPAZIO METRICO
Vocabolario
geometrìa
geometria geometrìa s. f. [dal lat. geometrĭa, gr. γεωμετρία, comp. di γῆ «terra» (v. geo-) e -μετρία «misurazione» (v. -metria)]. – 1. In senso ampio e generico, lo studio dello spazio e delle figure spaziali, originariamente sviluppatosi...
mètrico
metrico mètrico agg. [dal lat. metrĭcus, gr. μετρικός, der. di μέτρον «misura; metro (del verso)»] (pl. m. -ci). – 1. a. In relazione a metro nel sign. di «misura», che concerne la misura, la misurazione: i sistemi m. e monetarî usati dagli...
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