gruppi di coomologia dei fasci

gruppi di coomologia dei fasci

Sia X uno spazio topologico. Dato una fascio F di gruppi abeliani su X, sia H⁰(X,F) il gruppo abeliano delle sezioni globali di F su X. Il funtore che associa a un fascio F il gruppo H⁰(X,F) è esatto a sinistra cioè se f:E→F è un morfismo iniettivo di fasci, l’applicazione indotta H⁰(X,F)→H⁰(X,F) è anch’essa iniettiva. Tale funtore non è però esatto a destra, ovvero se f è un morfismo suriettivo l’applicazione indotta H⁰(X,F)→H⁰(X,F) non è in generale suriettiva. Nella sua formulazione più matura in termini di funtori derivati universali, dovuta ad Alexander Grothendieck, la coomologia dei fasci ovvia a tale carenza fornendo per via astratta funtori che associano a F gruppi H^q(X,F), con q intero non negativo, soggetti alle seguenti due richieste. La prima richiesta è che, data una successione esatta di fasci 0→A→B→C→0, per ogni q risulti associato un omomorfismo H^q(X,C)→H^q+1(X,A) (‘funtorialmente’ in un senso che non andremo a precisare) tale che

0→H⁰(X,A)→H⁰(X,B)→H⁰(X,C)→H¹(X,A)→

→H¹(X,B)→H¹(X,C)→H²(X,A)→...

ottenuta per funtorialità di H^q(X_i), sia una successione esatta di gruppi. Ricordiamo che, dati morfismi A⁰→A¹→A²→A³→... di fasci o di gruppi, essi formano una successione esatta se il nucleo di Aⁱ⁺¹→Aⁱ⁺² coincide con l’immagine di Aⁱ→Aⁱ⁺¹. In secondo luogo si chiede che esista una classe C di fasci tali che ogni fascio F ammetta un morfismo iniettivo F→G per un qualche G in C e H^q(X,G) si annulli per q positivo e G in C. Esempi di tali classi sono i fasci iniettivi o i fasci aciclici. Tale richiesta rende i funtori H^q(X,∙) essenzialmente unici. Concretamente sia dato un fascio F e sia data una successione esatta 0→F→G⁰→G¹→... con Gⁱ in C; l’esistenza di una tale successione è garantita dalla seconda proprietà. Si dimostra che H^q(X,F), per q positivo, coincide con il nucleo di H⁰(X,G^q)→H⁰(X,G^q+1) quozientato per l’immagine di H⁰(X,G^q−1). Tale approccio è tanto astratto quanto flessibile. Permette, per es., di ­ridimostrare il teorema di de Rham astratto per varietà o spazi analitici.

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