L'Hôpital, Guillaume-François-Antoine de, marchese di Sainte-Mesme

Matematico francese (Parigi 1661 - ivi 1704). Scienziato, allievo di Bernoulli - da cui apprese il calcolo infinitesimale - e corrispondente dell'Accademia delle scienze di Parigi (1693), è ricordato essenzialmente per il teorema che da lui prende nome, la cui esposizione è contenuta in Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696).

Vita e attività

Fu uno dei primi studiosi del calcolo infinitesimale, che apprese da G. Bernoulli: a lui si deve anzi la prima esposizione sistematica della nuova teoria (la già ricordata Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes). In essa si trova il teorema comunemente chiamato oggi teorema di L'H. o regola di L'H: se f (x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intorno di x₀, e si ha lim f(x)=

x→x₀

lim g(x)=0, essendo g(x)≠0 perx≠x0, ovvero

x→x₀

f′(x)

lim f(x)=limg(x)=∞, e se esiste lim ______

x→x₀ x→x₀ x→x₀ g′(x)

f(x)

esiste anche lim _______ e i due limiti sono

x→x₀ g(x)

uguali. Cioè: "il limite del rapporto di due funzioni entrambe infinitesime o infinitamente grandi, per uno stesso valore della variabile, è uguale al limite del rapporto delle derivate delle funzioni per il medesimo valore della variabile, nell'ipotesi che quest'ultimo esista". Il teorema può eventualmente essere applicato al rapporto delle derivate delle due funzioni. Per es.:

x−sen x 1−cos x

lim ________= lim ________=

x→0 x³ x→0 3x²

sen x cos x 1

= lim ______= lim ______=__.

x→0 6x x→0 6 6

Si noti che il teorema di L'H. dà una condizione sufficiente ma non necessaria per l'esistenza del limite cercato. Così se f(x) e g(x) coincidono in un'unica funzione non derivabile, il limite del loro rapporto esiste (è ovviamente uguale a 1) nonostante il teorema di L'H. non sia applicabile.