metodo di concentrazione-compattezza

metodo di concentrazione-compattezza

La soluzione di un problema variazionale è legata alla possibilità di trovare punti critici di un dato funzionale. Consideriamo il caso elementare di una funzione f:(a,b)→ℝ derivabile con continuità e sia x_ν∈[a′,b′]⊂(a,b) tale che f(x_ν)→l e f′(x_ν)→0 per n→∞; l∈ℝ è detto livello critico. Essendo l’intervallo [a′,b′] chiuso e limitato, esiste x₀∈[a′,b′] tale che x_μ→x₀, prendendo un’opportuna ‘selezione’ (sottosuccessione) x_μ di punti x_ν; proprietà nota come compattezza dell’intervallo chiuso e limitato [a′,b′] (teorema di Heine-Borel). Sfruttando quindi la continuità di f′, otteniamo che il livello critico è assunto i.e. f(x₀)=l e f′(x₀)=0. Individuato un livello critico, l’ingrediente essenziale nell’argomento precedente per garantire che tale livello sia assunto, ottenendo un punto critico e dunque una soluzione del problema, è la possibilità di selezionare da ogni successione limitata x_ν⊂[a′,b′] una sottosuccessione convergente. Questa proprietà non vale in spazi infinito dimensionali e, in generale, neanche per le particolari successioni lungo cui il funzionale converge a un livello critico: si parla in questi casi di perdita di compattezza. Il principio di concentrazione-compattezza è uno strumento che permette in molti casi di individuare i modi in cui si può perdere compattezza (causa fenomeni di ‘concentrazione’) e quantificarne l’effetto sui livelli critici di un dato funzionale: tipicamente, la perdita di compattezza si manifesta solo a determinati livelli, esclusi i quali si ha una compattezza ritrovata.

→ Analisi non lineare: metodi variazionali