ARCH, modello

ARCH, modello

Modello (acronimo di AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity, «modello autoregressivo con eteroschedasticità condizionata») usato per la specificazione di serie storiche caratterizzate da errori o innovazioni la cui variabilità dipende dalle innovazioni in periodi precedenti. Proposto nel 1982 da R. Engle, è utilizzato in particolare in serie storiche di dati finanziari contraddistinti da una volatilità variabile nel tempo, con l’alternanza di periodi relativamente calmi e periodi ad alta variabilità. Si dice che una serie storica{y_t}segue un processo ARCH(1) se può essere scritta come y_t=a₀+u_t, dove u_t=σ_tz_t; {z_t} è una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite a media nulla e varianza unitaria, mentre la variabile σ_t è modellata da σ_t²=c₀²+c₁u_t²₋₁, ossia dipende dai quadrati dei valori ritardati dell’errore. Formalmente, poiché z_t ha varianza unitaria, un processo ARCH(1) è equivalente a un processo autoregressivo AR(1) per i quadrati degli errori u_t², in quanto E(u_t²|u_t−1,u_t−2...) =c₀²+c₁u_t². Il modello ARCH(1) può essere generalizzato introducendo m ritardi nel processo autoregressivo per u_t². Il processo così ottenuto è un processo ARCH(m).

Modello ARMA-ARCH

Una versione più generale del modello ARCH puro è il modello ARMA(p, q)-ARCH(m), che associa a un modello autoregressivo ARMA(p, q), per la serie storica {y_t} un modello ARCH(m) per le innovazioni. Così, per es., una serie storica {y_t}descrive un processo AR(1)-ARCH(1) se y_t=a₀+a₁y_t−1+u_t, con u_t=σ_tz_t e σ_t²=c₀²+c₁u_t²₋₁. Il modello ARMA-ARCH riesce a catturare le variazioni nell’ampiezza delle oscillazioni delle serie storiche. Un importante elemento da evidenziare è il fatto che una delle proprietà del modello ARCH è che le code della distribuzione marginale degli errori risultano più pesanti rispetto a quelle della distribuzione condizionata. Quando le variabili z_t sono distribuite come una variabile normale, questo implica che gli errori risultino leptocurtici, ossia con code più pesanti di quelle di una distribuzione normale, che è una caratteristica della volatilità nei dati finanziari. Un’estensione del modello ARCH è costituita dal modello GARCH (T. Bollerslev, Generalized ARCH, 1986), nel quale i quadrati delle innovazioni passate sono modellati con un processo AutoRegressivo Media Mobile, ARMA (p, q).