monoide

monoide

Termine utilizzato come sinonimo di semigruppo con identità. Un monoide è pertanto un insieme M con un’operazione binaria associativa (ossia a(bc)=(ab)c per ogni a,b,c∈M), usualmente detta moltiplicazione, e un elemento e∈M tale che ea=ae=a per ogni a∈M. L’elemento e è detto identità (o unità) ed è usualmente indicato con il simbolo 1. In ogni monoide l’identità è automaticamente unica. Se l’operazione data è inoltre commutativa essa è spesso detta addizione e l’identità indicata con il simbolo 0. Un esempio estremamente importante di monoidi è l’insieme di tutte le mappe di un insieme arbitrario S in sé relativamente all’operazione di applicazione successiva (composizione) delle mappe stesse. Naturalmente, l’identità è data dalla mappa identica che associa a ogni elemento di S sé stesso. Viceversa, ogni monoide può essere rappresentato come monoide degli automorfismi di un opportuno insieme S′. Ogni gruppo, in quanto anche semigruppo con identità, è un monoide. Ogni semigruppo senza identità P può sempre essere ­immerso in un monoide. È infatti sufficiente considerare un simbolo, per es. 1, non appartenente a P e definire una moltiplicazione sull’insieme P∪{1} come segue: 1∙ּ1=1, 1ּ∙x=xּ∙1=x per ogni x∈P, il prodotto tra elementi di P è invece preso coincidente con quello originale. Un arbitrario monoide M può anche essere considerato come una categoria con un singolo oggetto. Gli elementi di M saranno naturalmente le frecce (morfismi) dall’oggetto in sé. Chiaramente, si tratta di una mera riformulazione della precedente descrizione in termini di automorfismi di un insieme S′, ma essa permette di associare a ogni monoide un duale M^οπ, definito come opposto della categoria. Gli elementi di M e M^οπ coincidono ma il prodotto xy è posto uguale a yx in M^οπ. Lo sviluppo della teoria dei monoidi e dei funtori aggiunti ha mostrato infine l’utilità di definire una struttura di monoide in categorie dette, per questa ragione, monoidali.

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