notazione

notazione

notazione insieme di simboli e convenzioni usati per indicare enti e operazioni matematiche ed, eventualmente, l’ordine di esecuzione del loro calcolo. Oltre che per l’ovvio scopo simbolico-formale, l’uso di buone notazioni ha un ruolo decisivo nel rendere chiare e facilmente leggibili le formule matematiche, permettendo una maggiore rapidità e facilitando una maggiore precisione nell’esecuzione delle operazioni di calcolo. Questo è per esempio il caso della notazione posizionale usata nella scrittura dei numeri (→ sistema posizionale) e, nell’ambito del sistema posizionale decimale, della cosiddetta → notazione scientifica.

Per quanto riguarda le notazioni relative all’esecuzione delle operazioni e al calcolo formale, solitamente si usa la notazione infissa, secondo la quale il simbolo di operatore è posto tra i due operandi e le operazioni da eseguire seguono una gerarchia, data dall’ordine (non vincolante) da sinistra verso destra solo se le due operazioni sono di pari gerarchia. Limitandosi alle operazioni algebriche, la gerarchia è la seguente:

• operazioni tra parentesi;

• elevazioni a potenza (e radici, loro inverse);

• moltiplicazioni (e divisioni, loro inverse);

• addizioni (e sottrazioni, loro inverse).

Se compare un simbolo funzionale, esso, in assenza di parentesi, ha comunque la precedenza.

Per esempio, l’espressione (3 + 2) ⋅ (5 + 1) significa che occorre addizionare 3 e 2, poi addizionare 5 e 1 (ma l’ordine non è vincolante) e infine moltiplicare i due risultati tra loro: il risultato è 30. L’espressione 3 + 2 ⋅ 5 + 1 indica invece che va prioritariamente calcolato il prodotto 2 ⋅ 5 e quindi calcolata la somma: il risultato è 14. La notazione infissa è comunemente utilizzata anche per i predicati binari: per esempio, nella scrittura x > 0, il simbolo del predicato (>) è posto tra i due argomenti a cui si riferisce. Un secondo tipo di notazione, detta notazione prefissa, prevede che si scriva prima l’operatore e poi gli operandi; per esempio (*a b) indica l’operazione * tra gli elementi a e b; l’espressione x ² + y si scrive in notazione prefissa (+ (⋅xx)y)). La notazione prefissa è generalmente utilizzata nel linguaggio dei predicati: il simbolo del predicato è posto prima degli argomenti a cui si riferisce. È inoltre usata nel linguaggio di programmazione lisp. Un particolare tipo di notazione prefissa è la notazione polacca, introdotta dal logico polacco J. Łukasiewicz intorno al 1920 e utilizzata in ambito logico e informatico; ha il vantaggio di evitare l’uso delle parentesi: la gerarchia delle operazioni coincide con l’ordine di scrittura da destra verso sinistra; ogni operatore agisce prioritariamente sui primi due argomenti disponibili alla sua destra. Per esempio, l’espressione (3 + 2) × (5 + 1) in notazione polacca diventa × + 3 2 + 5 1: il primo + ha come argomenti 3 e 2, il secondo + ha come argomenti 5 e 1, mentre × ha come argomenti i due che lo seguono.

Un terzo tipo di notazione, per certi versi simile alla precedente, è la notazione postfissa secondo cui si scrivono prima gli operandi e successivamente gli operatori. Se a e b sono gli elementi di un insieme in cui è definita un’operazione *, l’operazione tra a e b si scrive (ab*). La più conosciuta notazione di questo tipo è la notazione polacca inversa (talvolta indicata con l’acronimo rpn), utilizzata da numerosi computer e in generale in ambito informatico, che non fa uso di parentesi: ogni operatore è posto subito dopo i suoi operandi e la gerarchia delle operazioni è stabilita dall’ordine che va da sinistra verso destra. Per esempio, l’espressione (3 + 2) × (5 + 1) diventa in notazione polacca inversa 3 2 + 5 1 + ×: il primo + ha come argomenti 3 e 2, il secondo + ha come argomenti 5 e 1, mentre × ha come argomenti i due che lo precedono, vale a dire 3 2 + e 5 1 +.

Nell’ambito dei gruppi, si parla di notazione additiva se l’operazione definita nel gruppo è formalmente trattata come un’addizione, mentre si parla di notazione moltiplicativa se l’operazione è formalmente trattata come una moltiplicazione. Se per esempio h e g sono elementi di un gruppo G, allora la scrittura gⁿ (in notazione moltiplicativa) equivale a ng (in notazione additiva). Per coerenza con l’aritmetica, l’elemento neutro di un gruppo in notazione additiva è indicato anche con il simbolo 0 mentre in notazione moltiplicativa è indicato anche con il simbolo 1.