L'Eta dei Lumi: matematica. La teoria dei numeri
Günther Frei
La teoria dei numeri
La teoria dei numeri (o aritmetica) tratta delle proprietà dei numeri. Lungo tutta la sua storia, un tema dominante [...] considerata da Jakob I Bernoulli (1654-1705), il quale dimostrò che:
Nel 1737 Euler ne determinò una formulazione in termini di prodottoinfinito (teorema 8.3):
(su tutti i primi p), s ∈ ℝ, s>1.
Questa identità si ricava per mezzo del teorema ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Teoria analitica dei numeri
Günther Frei
Teoria analitica dei numeri
La teoria analitica dei numeri non è una teoria matematica ben definita, [...] teorema fondamentale dell'aritmetica sull'unicità della fattorizzazione in numeri primi, che ζ(s) ammette una rappresentazione come prodottoinfinito:
dove il prodotto è esteso a tutti i numeri primi, e s>1 è un numero reale. Se si fa tendere ...
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ipotesi di Riemann
Matteo Longo
Congettura sulla distribuzione degli zeri nella funzione zeta di Riemann. La funzione zeta di Riemann ζ(s) è la serie L di Dirichlet associata al carattere di Dirichlet [...] . La funzione zeta di Riemann può essere espansa in un prodotto di Euler:
dove il prodotto si intende esteso a tutti i numeri primi p (per definire un tale prodottoinfinito è necessario ricorrere a una conveniente nozione di convergenza che per ...
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curva ellittica
curva ellittica curva proiettiva piana E definita da un’equazione del tipo y2 = x3 + ax + b con a e b tali che il discriminante δE = 4a3 + 27b2 ≠ 0. Se E è una curva ellittica definita [...] np il numero delle soluzioni modulo p dell’equazione della curva, e il prodotto è eseguito su tutti i numeri primi p che non dividono δE. Si dimostra che questo prodottoinfinito converge a una funzione analitica. La funzione L associata a una curva ...
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Weierstrass, formula di
Weierstrass, formula di in analisi, esprime mediante un prodottoinfinito una qualsiasi funzione trascendente intera avente come zeri gli elementi di una successione {an} di numeri [...] una assegnata successione {an} di punti del piano complesso, avente come unico punto di accumulazione il punto all’infinito, ammette infinite soluzioni. Si noti che se i punti {an} avessero un punto di accumulazione al finito, la trascendente intera ...
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convergenza, dominio di
convergenza, dominio di locuzione che si applica a limiti di espressioni dipendenti da un parametro, per indicare l’insieme dei valori del parametro per cui tali limiti esistono [...] (nel campo reale) o un cerchio (nel campo complesso). Analogamente si possono definire i domini di convergenza di un prodottoinfinito, di una frazione continua, di un integrale improprio dipendenti da una o più variabili, reali o complesse. ...
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funzione generatrice
funzione generatrice della successione {cn(z)}, è una funzione w(z, t) che ammetta lo sviluppo di → Maclaurin
La funzione generatrice delle partizioni di un insieme di n elementi [...] è data dal prodottoinfinito
La funzione ƒ(n) generatrice delle principali funzioni aritmetiche è tuttavia di solito definita diversamente, utilizzando delle serie di → Dirichlet, come la funzione
Per esempio, la funzione toziente di → Eulero è ...
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MENGOLI, Pietro
Amedeo Agostini
Matematico, nato a Bologna nel 1626, morto ivi il 7 giugno 1686. Laureato in filosofia nel 1650 e in ambedue le leggi nel 1653, si dedicò agli studî matematici sotto [...] n, lo sviluppo
In un volumetto Circolo (Bologna 1672) calcola gl'integrali della forma
e ritrova per π/2 quello stesso prodottoinfinito, che era già stato trovato dal matematico inglese Wallis.
Oltre ad altre opere minori di matematica, il M. trattò ...
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WALLIS, John
Giovanni Vacca
Matematico inglese, nato ad Ashford (Kent) il 23 novembre 1616, morto a Oxford il 28 ottobre 1703. Studiò nell'Emmanuel College a Cambridge e prese gli ordini religiosi nel [...] - a calcolare il valore di quegli integrali per i valori n = ½, 3/2, 5/2, . . ., che riduce a un prodottoinfinito. Dal valore per n = ½ egli ricava:
Il suo amico W. Brounker, ammirando questa notevole espressione aritmetica, riuscì a trasformarla in ...
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congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
Massimo Bertolini
È considerata una delle questioni fondamentali della matematica contemporanea. La congettura in questione stabilisce una relazione tra le proprietà [...] formula
L(E,s) = Π(1 + app−s + p1−2s)−1
dove il prodotto è effettuato su tutti i primi p che non dividono ΔΕ . Si dimostra che questo prodottoinfinito converge a una funzione analitica (cioè derivabile in senso complesso) sul semipiano dei numeri ...
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spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
finito
agg. [part. pass. di finire]. – 1. a. Giunto o condotto a termine, compiuto: arrivare a spettacolo f.; sono ormai due anni f. che ha lasciato il paese. Frequente nell’uso fam. la locuz. farla finita (con la indeterminato), smettere...