spazio affine

spazio affine

spazio affine spazio caratterizzato dal gruppo delle → affinità (trasformazioni affini) a esso associato. Per le caratteristiche invarianti si veda → geometria affine. Dal punto di vista più formale, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di → spazio vettoriale, nella quale non sono definite alcune nozioni tipiche dello → spazio euclideo, quali quella di angolo, di perpendicolarità, di distanza, mentre risultano definite le nozioni di parallelismo, rapporto tra segmenti, punto medio ecc. A differenza di quanto accade nello spazio vettoriale, nel quale tutti i sottospazi passano per l’origine del riferimento ivi definito, nello spazio affine esistono sottospazi privi di punti comuni (sottospazi paralleli) e l’origine non costituisce un punto privilegiato. In sostanza, uno spazio affine è uno spazio vettoriale dotato di → traslazioni. Dal punto di vista formale, esso può essere definito assiomaticamente, per esempio nel modo che segue. Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, si dice spazio affine avente per sostegno V, un insieme A, i cui elementi si dicono punti, associato a una funzione (traslazione) ƒ: A × V → A, che a ogni coppia (P, v) del prodotto cartesiano A × V associa un punto Q ∈ A, denotato con Q = P + v, in modo che siano verificate le seguenti proprietà:

• per ogni punto P ∈ A e per ogni coppia di vettori u, v ∈ V vale la relazione (P + u) + v = P + (u + v);

• per ogni punto P ∈ A vale la relazione P + 0 = P, avendo indicato con 0 il vettore nullo;

• per ogni coppia di punti P, Q ∈ A esiste un solo vettore v ∈ V tale che Q = P + v.

Uno spazio affine può contenere sia infiniti punti, sia un numero finito di punti. In uno spazio affine non vale la formula di → Grassmann. Si dice poi spazio affine ampliato uno spazio in cui si considerino anche gli elementi all’infinito, quali i → punti impropri e la → retta impropria.