spazio proiettivo
spazio proiettivo
spazio proiettivo ambiente geometrico in cui gli elementi che, in uno spazio affine, sono all’infinito (punti impropri, rette improprie ecc.) non sono distinguibili da quelli al finito; scomparendo tale distinzione, svaniscono in tale ambiente le nozioni metriche e quella di parallelismo. Lo spazio proiettivo generalizza e formalizza la situazione che si realizza quando un raggio è proiettato su un piano e vi lascia come traccia un punto. È per questo che i punti di uno spazio proiettivo sono definiti come rette di uno spazio vettoriale.
Definizione assiomatica
Uno spazio proiettivo associato a un K-spazio vettoriale V, indicato con P(V) o semplicemente con V, è l’insieme i cui elementi, detti punti di P, sono i sottospazi di dimensione 1 di V. Se K = R (rispettivamente, C) lo spazio è detto spazio proiettivo reale (rispettivamente, complesso). La dimensione di P(V) è dim(V) − 1. A seconda che sia dim(V) = 3, 2, 1 si ha rispettivamente un piano proiettivo (di dimensione 2), una retta proiettiva (di dimensione 1), un punto (di dimensione 0).
Ogni vettore v di V, non nullo, genera il sottospazio {kv: k ∈ K} di dimensione 1, per cui due vettori non nulli v e w definiscono lo stesso punto se esiste k ∈ K, con k ≠ 0, tale che w = kv.
Il caso più rilevante di spazio proiettivo è quello in cui lo spazio vettoriale è Kn+1 formato dalle (n + 1)-ple ordinate di elementi di un campo K (reale o complesso). In tale caso P(Kn+1) si denota anche con P n ed è detto spazio proiettivo numerico. Nello spazio K0n+1, ottenuto privando Kn+1 dell’origine (ed escludendo quindi (0, 0, …, 0)), si considera la relazione d’equivalenza per cui (x0, x1, ..., xn) = (y0, y1, ..., yn) se e solo se esiste uno scalare non nullo k tale che yi = kxi per ogni i = 0, …, n. Le classi di equivalenza sono i sottospazi di dimensione 1 di Kn+1 privati dell’origine e quindi esiste una biiezione tra i punti dello spazio proiettivo e gli elementi dello spazio quoziente rispetto alla relazione stessa. Poiché un elemento di K0n+1 è determinato dalle sue coordinate, un elemento dello spazio proiettivo è determinato dalle stesse, definite a meno di un fattore non nullo, che costituiscono un sistema di coordinate omogenee. Se lo spazio vettoriale cui è associato lo spazio proiettivo è dotato di una topologia, se ne può dedurre una, per passaggio al quoziente, sullo spazio proiettivo corrispondente. Risulta che lo spazio proiettivo reale P n è omeomorfo alla sfera dello spazio Rn+1 ove si identifichino i punti diametralmente opposti (in particolare, la retta proiettiva, spazio proiettivo di dimensione 1, è omeomorfa a una circonferenza) ed è compatto e connesso.