distribuzione normale (gaussiana)

distribuzione normale (gaussiana)

Una delle più importanti distribuzioni di probabilità, nota anche come legge di Gauss. Svolge un ruolo fondamentale come distribuzione di una o più variabili casuali (in questo caso anche come distribuzione congiunta) ma anche nella teoria dei processi stocastici. La sua definizione generale può essere facilmente ridotta al caso unidimensionale, ovvero di una variabile casuale a valori nella retta reale ℝ. In questo caso, la distribuzione di probabilità di una variabile casuale X è detta normale se ha densità di probabilità

p(x; a, σ)=1/(2π)^½ exp{−(x−a)²/2σ ²}.

La corrispondente distribuzione è allora

Φ(x; a, σ)=∫_−∞^{x(x; a, σ)dx=}

=∫_−∞^x1/(2π)^½exp{−(x−a)²/2σ²}dx.

Osserviamo che la formula precedente definisce in realtà una famiglia di distribuzioni, dipendente dai parametri a∈ℝ e σ>0. Il primo coincide con il valore atteso E{X} della variabile X, σ² con la sua varianza E{(X−a)²}. Al variare di x, la curva y=p(x;a,σ) è simmetrica intorno al valore x=a e ha lì il suo massimo 1/(2π)^½σ; con il decrescere di σ, il massimo dunque cresce in valore e la curva si concentra intorno a esso. Queste caratteristiche giustificano la denominazione di curva a campana. Se X è una variabile normalmente distribuita e k>0, la probabilità che |X−a|>kσ (la probabilità cioè che il valore di X abbia da a una distanza maggiore a kσ) è pari a 1−Φ(k)+Φ(−k) e decresce molto velocemente al crescere di k. L’incredibile varietà dei contesti nei quali la distribuzione normale trova applicazione ha i suoi fondamenti teorici in una serie di classici risultati della teoria della probabilità, detti teoremi limite. In generale, essi esprimono la seguente circostanza: una distribuzione normale è una buona approssimazione ogniqualvolta la variabile casuale considerata X è la somma di un gran numero di variabili casuali indipendenti, ciascuna delle quali sia piccola a paragone di X stessa. La distribuzione normale appare anche come soluzione esatta di particolari ma importanti problemi. Classici esempi sono la distribuzione degli errori compiuti nella ripetizione di una determinata misura (dovuta a Carl Friedrich Gauss) e quella delle velocità delle molecole di un gas di Maxwell.

→ Stocastica