piccoli mondi
piccoli mondi
Nella teoria delle reti, classi di grafi in cui ogni nodo può essere raggiunto da qualsiasi altro nodo in un numero limitato di passi, che cresce come il logaritmo del numero di nodi (N) presenti nel grafo. Per es., un p. m. composto da N=109 nodi in cui ogni nodo è connesso direttamente solo a K=102 altri nodi, la distanza tra due nodi scelti a caso sarà di appena 4,5.
Esempi di piccoli mondi
Nel mondo reale, molte reti sono piccoli mondi. La prima evidenza empirica a riguardo risale al 1967, quando il sociologo staunitense S. Milgram, mediante un famoso e ingegnoso esperimento, misurò il numero di passaggi necessari per connettere due persone scelte a caso tra i residenti negli USA tramite legami di conoscenza diretta, trovando che la media dei passaggi era solamente 6 (da cui la celebre locuzione ‘6 gradi di separazione’). In seguito, studi empirici hanno mostrato che nella popolazione degli utenti di Facebook (a giugno 2011 circa 700 milioni), la distanza media tra due individui è solo di 3,7 passaggi. Altri esempi di p. m. si riscontrano nelle reti delle mappe stradali, nelle catene di cibo, nelle reti elettriche, nelle reti neurali, nel world wide web, e nelle reti di collaborazioni scientifiche (papers, brevetti ecc.) e artistiche (per es., cinematografiche).
Le proprietà dei piccoli mondi
La caratteristica di p. m. è una proprietà banalmente riproducibile da modelli stocastici di formazione di grafi. P. Erdös e A. Rényi hanno mostrato che le reti casuali di Poisson (➔ Poisson, distribuzione di), in cui ogni legame è presente indipendentemente da tutti gli altri con una probabilità prefissata e omogenea, sono p. m. se, al crescere di N, tale probabilità è maggiore di una soglia minima che decresce come log(N)/N. Si noti che la proprietà di p. m. viene spesso associata all’elevata probabilità che due nodi collegati a uno stesso nodo siano essi stessi collegati (clustering). Nella realtà, molte reti presentano un elevato coefficiente di clustering. Tale fenomeno è ovviamente presente nelle reti reali in cui i nodi sono collegati se vicini nello spazio geografico (‘i miei vicini di casa sono anch’essi vicini di casa’) o sociale (‘i miei amici sono anch’essi amici’). Le proprietà di bassa distanza (p. m.) ed elevato clustering possono coesistere in una rete. Ciò è stato dimostrato da D. Watts e S. Strogatz (WS) per mezzo di un semplice modello in cui un reticolo evolve tramite l’aggiunta di collegamenti ‘scorciatoia’ tra nodi altrimenti distanti nel grafo. A.-L. Barabasi e R. Albert, infine, hanno evidenziato che p. m. con elevata clusterizzazione possono essere anche caratterizzati, a differenza di quanto succede nel modello di WS, da distribuzioni di probabilità del grado (cioè del numero di legami del nodo) approssimate da leggi di potenza. In tali grafi, al tendere di N all’infinito, emergono nodi hubs che detengono un numero di legami il cui ordine di grandezza è superiore a quello di tutti gli altri.